ללמוד יותר על היכולות המתמטיות של קלוד
לאחרונה, חבר צוות באנתרופיק העמיד את קלוד בפני אתגר בלתי הגיוני לכאורה. המשימה נגעה לאחת הבעיות הבלתי פתורות המפורסמות ביותר במתמטיקה: 'נסה ברצינות לפתור את השערת רימן'.
קלוד אכן ניסה ברצינות, אך כפי שאולי ציפיתם אם אתם מכירים את קושי המשימה (השערת רימן מתוארכת ל-1859 ועל פתרונה מוצע פרס של מיליון דולר), הוא לא הצליח לפתור אותה במלואה. עם זאת, במהלך ניסיונו, הוא התקדם באופן בלתי צפוי בבעיה קשורה.
גרסת מחקר של קלוד, שטרם שוחררה, שיפרה חסם תחתון ותיק לאחוז האפסים של פונקציית זטא של רימן שמקיימים את השערת רימן. בהתבסס על מחקרים קודמים נרחבים של מתמטיקאים לאורך עשורים, המודל הגדיל את החסם הזה מ-41.6% ל-67.2%.
שני מתמטיקאים באנתרופיק בחנו ותיקפו את המאמר של קלוד, ויצרו הערה בלתי פורמלית למומחים, המציגה את ההוכחה של קלוד בצורה תמציתית. קלוד גם יצר הוכחה הניתנת לאימות פורמלי לתוצאה שלו. אנו מודים לבראיין קונרי (Brian Conrey) ולדן גולדסטון (Dan Goldston), שני מומחים בתחום זה, שבחנו את המאמר בנדיבות ובהתראה קצרה.
איננו מצפים שהטכניקות שבהן השתמש קלוד יובילו להוכחת השערת רימן במלואה. עם זאת, עבודתו משמשת כדוגמה עדכנית לקצב ההתקדמות המהיר ביכולות המתמטיות של מודלי AI. בפוסט זה, נדון כיצד קלוד ניגש לבעיה זו ומה מצא.
פונקציית זטא של רימן
פונקציית זטא של רימן מתארת את התפלגות המספרים הראשוניים: כל נקודה שבה הפונקציה מקבלת ערך אפס תורמת פרטים עדינים יותר לרצף הראשוניים. השערת רימן קובעת כי כל האפסים הקובעים את הראשוניים נמצאים לאורך קו אנכי מסוים. זו הפכה לאחת ההשערות המשמעותיות ביותר במתמטיקה: תוצאות רבות מניחות שהיא נכונה על מנת לספק צורה של אקראיות במספרים הראשוניים.
איש טרם הצליח להוכיח או להפריך את השערת רימן, אך מתמטיקאים התקדמו בכיוונים קשורים רבים בחקר פונקציית זטא של רימן והאפסים שלה. אחד מהם, כאמור, הוא כימות שיעור מינימלי של אפסים הנמצאים על הקו: עם הזמן, הם הגדילו בהדרגה את הפרופורציה הקבועה הידועה הזו ל-41.6%.
כיוון נוסף נוגע להתפלגות האפסים על הקו. בפרט, בשנת 1973, מונטגומרי (Montgomery) הציג מספר טכניקות חדשות בתחום זה, אם כי טכניקות אלו הניחו שההשערה נכונה. לאחרונה, מספר מתמטיקאים (Baluyot, Goldston, Suriajaya, ו-Turnage-Butterbaugh) פרסמו סדרת עבודות המאפשרות לטכניקות של מונטגומרי לפעול ללא הנחה זו, מה שאומר שהן יכולות לתמוך בעבודה על הגדלת קבוע החסם התחתון לאפסים על הקו. התוצאה של קלוד נשענת רבות על קו מחקר זה, יחד עם מאמר משנת 2000 של בומביירי (Bombieri).
המצאתו של קלוד
קלוד מצא כי שילוב התוצאות מ-Baluyot, Goldston, Suriajaya, ו-Turnage-Butterbaugh עם עבודתו של בומביירי (Bombieri) מספק דרך לעבור את פרופורציית החסם התחתון הקודמת שהייתה שיאנית (41.6%), ולהגדיל אותה ל-67.2%.
הסבר טכני קצר לממצא של קלוד הוא כדלקמן: קלוד יוצר מרחב פונקציות מתאים עם צורה ריבועית הנגזרת מווייל (Weil), ותתי-מרחבים מוגדרים חיוביים (או שליליים, בהתאמה) הנובעים מאפסים הנמצאים (או לא נמצאים, בהתאמה) על הקו. לאחר מכן, קלוד פשוט רושם אי-שוויון על דרגת צורה ריבועית במונחים של מידע על מומנט ראשון ושני. (החישוב המוצלח של האחרון במונחים של התמונה הכפולה מעל מספרים ראשוניים, או באמצעות שליטה על טרנספורם הילברט, אינו מפתיע בתורת המספרים האנליטית). האומץ לטפל במרחב כולו, תוך התחשבות בקביעות חיובית ושלילית יחד, ועם צורה ריבועית שאינה אלכסונית, הוא במובן מסוים הצעד שמאפשר לקלוד להגיע למסקנה בהתבסס על העבודה הקודמת החשובה.
ההסבר הטכני המלא זמין במאמר. ההסבר של קלוד כיצד הגיע לתוצאה זמין בנספח נפרד כאן.
מתודולוגיית העבודה של קלוד
גרסת מחקר של קלוד, שטרם שוחררה, מצאה את החסם התחתון החדש בשתי סשנים ב-Claude Code, תוך שימוש בסך של 31 מיליון טוקנים בפלט.
ג'ארד סאמנר (Jarred Sumner), חבר צוות באנתרופיק (שאינו מתמטיקאי), הנחה את קלוד 'לנסות ברצינות' לפתור את ההשערה עצמה, והותיר את הבחירות המתמטיות מכאן ואילך למודל. בתחילה, קלוד יצר וניסה 650 רעיונות, שאף אחד מהם לא צלח. ג'ארד הנחה את קלוד לנסות שוב, והמודל בילה יום וחצי בתיאום פעולות של כ-60 סוכני-משנה של קלוד. הפעם, הסוכנים הללו העמיקו הרבה יותר: יחד, הם הריצו 2,400 פקודות shell וכתבו מאות סקריפטים ב-Python. סוכני המשנה ביצעו אלפי בדיקות נומריות מול אפסי זטא ידועים ושימשו כמבקרים לעבודות אחד של השני. לאורך תהליך זה, הקלט של ג'ארד היה מוגבל בעיקר לשליחת הודעות עידוד לקלוד (בעיקר וריאציות של 'המשך כך' או 'תאמין בעצמך'). נראה שזה עזר לקלוד להתגבר על ספקנות ראשונית לגבי יכולתו להשיג התקדמות משמעותית.
לאחר שמצא תוצאה חדשה זו בעת ניסיון לבצע את המשימה, קלוד בדק את עבודתו על ידי כך שסוכני משנה שונים סקרו את ההוכחות, חיפשו דוגמאות נגדיות, הורידו 54 מאמרים מ-arXiv כדי לוודא שממצאיו טרם התגלו, והוכיחו מחדש את ממצאיו באופן עצמאי מאפס. קלוד התנדב לכתוב את ממצאיו כמאמר, והמליץ שתיאורטיקן מספרי אנושי יאמת את ממצאיו.
לבנט אלפוג' (Levent Alpöge) וראלף פורמן (Ralph Furman), שני מתמטיקאים באנתרופיק, בחנו את עבודתו של קלוד כדי להבין את התוצאות החדשות ואת הקשר שלהן לעבודות הקודמות שהוזכרו לעיל. במקביל, קלוד עבד עם חבר צוות נוסף, אריק איסלי (Eric Easley), כדי ליצור פורמליזציה ב-Lean לתוצאה, שעברה את כלי האימות הסטנדרטי comparator.
התקדמות מודלי AI במתמטיקה
תוצאה זו מראה כי מודלי AI כמו קלוד יכולים להרחיב את ההשפעה והטווח של רעיונות מתמטיקאים בדרכים חדשות ולעיתים מפתיעות. למרות שהמודל לא הצליח לפתור את השערת רימן במלואה, תוצאה זו צצה כתוצר לוואי בלתי מכוון של הבקשה המקורית.
אפילו קלוד הופתע מממצאיו שלו – הוא היה סקפטי בהתחלה, ייתכן משום שלמד מאימוניו על קשיין של בעיות פתוחות במתמטיקה ועל מגבלותיהם של מודלי AI. אך לאחר כמה פרומפטים מעודדים, הוא הגיע לתוצאה שתיארנו. אולי קלוד, כמו רבים מאיתנו, ממעיט בערכו של קצב התקדמות ה-AI.
