אנו חולקים את ההוכחה המלאה הראשונה למשפט האחרון של פרמה שאומתה מחשבתית. Claude פעל באופן כמעט אוטונומי במשך 11 ימים כדי לכתוב את ההוכחה בשפת התכנות Lean. בהמשך נפרט כיצד בוצעה הפורמליזציה ונחלוק כמה מחשבות על משמעות עבודה זו עבור מחקר המתמטיקה.
בסביבות שנת 1637, פייר דה פרמה (Pierre de Fermat) רשם הערה בשולי עותק של ספרו "אריתמטיקה" של דיופנטוס, שהפכה לאחת ההשערות המתמטיות המפורסמות ביותר בכל הזמנים: אין מספרים שלמים חיוביים a, b, c המקיימים את המשוואה aⁿ + bⁿ = cⁿ עבור n > 2. המשפט האחרון של פרמה (FLT), כפי שההשערה נודעה, התגלה כקשה להוכחה באופן יוצא דופן. ההוכחה הראשונה, של סר אנדרו ויילס (Sir Andrew Wiles) משנת 1995, השתרעה על פני 129 עמודים ודרשה חודשים של עבודה מייגעת לאימותה.
עשור לאחר מכן, מדען המחשב ההולנדי יאן ברגסטרה (Jan Bergstra) הציע "לפרומל" את הוכחת ויילס: להמיר את החשיבה המתמטית לצורה שמחשבים יכולים לאמת באופן אוטומטי. מאז, מתמטיקאים פיתחו את השיטות הדרושות לקידוד הוכחה מורכבת שכזו, כולל מאמץ קהילתי רב-שנתי שהחל ב-2024 על ידי קווין באזארד (Kevin Buzzard) מהאימפריאל קולג' בלונדון להשלמת הפורמליזציה באמצעות עוזר ההוכחה Lean.
לאחרונה, טיאני פנג (Tianyi Peng), חוקר באנתרופיק שקבוצתו באוניברסיטת קולומביה בונה כלים לפורמליזציית AI, יצא לבדוק האם Claude יכול להתקדם בפורמליזציה של FLT.1 התוצאה עלתה על ציפיותיו. בתוך 11 ימים, כשפעל באופן כמעט אוטונומי, Claude יצר את ההוכחה המלאה הראשונה ל-FLT שאומתה מחשבתית מקצה לקצה. בדרך, הוא כתב 13 מיליון שורות קוד ב-Lean והוכיח 29,500 משפטי ביניים.
חלקנו את ההוכחה שהתקבלה עם קווין באזארד, שאמר:
"הישג האוטו-פורמליזציה יוצא הדופן הזה, שלדברי חוקרי אנתרופיק ארך 11 ימים בלבד, מוכיח את המשפט האחרון של פרמה ללא כל הנחות מלבד אקסיומות המתמטיקה. בדרך אנו רואים אוטו-פורמליזציה של אלגברה, אנליזה הרמונית, גאומטריה ותורת המספרים, ואנו לומדים ש-Artifacts של אוטו-פורמליזציית AI כעת מספיק חזקים כדי שאפשר יהיה לבנות עליהם; ההוכחה היא רב-שכבתית."
פורמליזציה אוטומטית של הוכחה מורכבת כמו FLT היא צעד משמעותי לעבר עתיד שבו כל המתמטיקה ניתנת לאימות בקלות. ככל ש-AI מייצר יותר ויותר הוכחות, היכולת לבצע פורמליזציה בקלות יכולה להקל על הנטל של הערכת תוצאות חדשות (תהליך שיכול להימשך שנים). אנו מקווים כי יהיה קל יותר, ולא קשה יותר, לבטוח במאגר הידע שעליו נבנית המתמטיקה.
האתגר באימות הוכחות מתמטיות
בניגוד לעבודה האחרונה מונעת ה-AI על השערת רימן, שיצרה מתמטיקה חדשנית, מה שחדש כאן הוא האימות - בדיקת הוכחה מתמטית כפי שבודקים חישוב מתמטי באמצעות מחשבון. הוכחת משפטים מתמטיים דורשת הרכבת שרשרות הגיוניות מורכבות, ואם חוליה אחת נשברת, כל מה שאחריה עלול להתגלות כשגוי. הבנה מעמיקה מספיק של תוצאה חדשה כדי להיות בטוחים בנכונותה יכולה לארוך חודשים, או אפילו שנים, של עבודה.
המשפט האחרון של פרמה הוא דוגמה מאלפת.2 פרמה רשם את ניסוח המשפט בשולי ספר, יחד עם הערה מפתה:
"גיליתי הוכחה נפלאה באמת לכך, אך שוליים אלה צרים מכדי להכיל אותה."
במשך למעלה מ-350 שנה, דורות של מתמטיקאים חיפשו הוכחה ל-FLT, נפלאה או אחרת. בשנת 1908, הוכרז פרס של 100,000 מארקים גרמניים מזהב (שווה ערך ל-1 - 2 מיליון דולר כיום) לכל מי שיצליח להציג הוכחה נכונה, ו-621 ניסיונות שגויים הוגשו בשנה הראשונה בלבד.
ביוני 1993, ויילס הציג את מה שלדעתו הייתה ההוכחה הנכונה הראשונה ל-FLT בסדרת הרצאות בת שלושה ימים. חודשיים לתוך מאמץ אימות אינטנסיבי של כמה מתמטיקאים, מבקר שאל את ויילס שאלה שחשפה פער קריטי. ויילס בילה שנה בניסיון לתקן זאת, תחילה לבדו ולאחר מכן עם תלמידו לשעבר ריצ'רד טיילור (Richard Taylor). הוא היה על סף נטישת הפרויקט כשבסוף הבין שגישה שדחה קודם לכן יכולה לתקן את ההוכחה.
ויילס פרסם את ההוכחה הנכונה הראשונה ל-FLT במאי 1995; היא הסתמכה על טכניקות מתמטיות מודרניות שהיו הרבה מעבר למה שהיה ידוע לפרמה בשנת 1637. מכיוון שלא נמצאה הוכחה יסודית לאחר מאות שנים של ניסיונות, הקהילה המתמטית מאמינה כעת כי "ההוכחה הנפלאה" המקורית של פרמה הייתה שגויה.
פורמליזציה של המשפט האחרון של פרמה
דרך אחת לבדוק את נכונותה של הוכחה היא לבקש ממחשב לעשות זאת. עוזרי הוכחה כמו Lean מאמתים את ההיגיון שבהוכחה באופן אלגוריתמי, ומוכיחים את נכונותה מעל לכל ספק. החלק הקשה עבור בני אדם הוא כתיבת ההוכחה מחדש באופן ש-Lean יוכל להבין אותה. בעוד שהוכחה הנכתבת עבור קוראים אנושיים תדלג על שלבים רבים ומובנים מאליהם, Lean צריך לראות כל שלב, ויהיה טריוויאלי ככל שיהיה. הוכחות אנושיות גם נבנות על מאות שנים של עבודה שפורסמה, בעוד שפורמליזציה מתחילה מהחלק הקטן של המתמטיקה שכבר עבר פורמליזציה.
עבור FLT, תהליך הפורמליזציה צפוי היה לארוך שנים. רק תוכנית העבודה שבה הקהילה המתמטית משתמשת כדי לתאר את השלב הראשוני של הפרויקט משתרעת על פני 86 עמודים.
Claude השלים את ההוכחה בתוך 11 ימים, ויצר בדרך הוכחות הניתנות לאימות מחשב של 30,300 משפטים (מתוכם 29,500 שימשו בהוכחה הסופית). עשרות סוכני Claude שיתפו פעולה כדי להגדיר מושגים, להוכיח משפטי ביניים, ולהשתמש במשפטים אלה כדי להוכיח טענות קשות יותר ויותר. עם 13 מיליון שורות קוד ב-Lean, הוכחת Claude גדולה פי 5 מ-Mathlib, ספריית הקהילה העיקרית של הוכחות מתמטיות שעליהן נשען משפט זה.3
